已知数列{an}递推公式是a(n+2)=3a(n+1)-2an,且a1=1,a2=3.127是这个数列中的第几项？

N种做法~如果你学竞赛你会知道这是常线性递推数列~会有直接的公式可以解~

不过我要介绍的是普通做法：

构造等比

a(n+2)=3a(n+1)-2an变形为a(n+2)-a(n+1)=2a(n+1)-2an=2{a(n+1)-an}
可以得到a(n+1)-an为等比数列~则a(n+1)-an=2^N（a2-a1）
得到a(n+1)-an=2^(N+1)

在构造

a(n+1)-an=2^(N+1)变形为a(n+1)/2^(N+1)-1/2 x an/2^N=1
得到令Tn=an/2^N
T(n+1)-1/2 x Tn=1

继续构造等比

T(n+1)-1/2 x Tn=1变形为T(n+1) -2= 1/2 x (Tn -2)
得到Tn -2是等比数列~所以Tn-2=1/2^(N-1) x (T1-2)

最后推导出an的通项~
an=2^N - 1

所以127是第7项

也可以用跳跃数学归纳法做~(可能计算过程有问题~你自己算算~我不想算了~）

2的7次方是128，我看错了~

构造等比

a(n+2)=3a(n+1)-2an变形为a(n+2)-a(n+1)=2a(n+1)-2an=2{a(n+1)-an}
可以得到a(n+1)-an为等比数列~则a(n+1)-an=2^N（a2-a1）
得到a(n+1)-an=2^(N+1)

在构造

a(n+1)-an=2^(N+1)变形为a(n+1)/2^(N+1)-1/2 x an/2^N=1
得到令Tn=an/2^N
T(n+1)-1/2 x Tn=1

继续构造等比

T(n+1)-1/2 x Tn=1变形为T(n+1) -2= 1/2 x (Tn -2)
得到Tn -2是等比数列~所以Tn-2=1/2^(N-1) x